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關于捕魚游戲的概率題 |
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作者: 佚名 日期:2018-05-28 22:28:30 來源: 本站整理
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- 題目
- 關于捕魚游戲的概率題
假設有一捕魚游戲,炮彈分五級.一級炮消耗一元,捕獲魚的概率為0.1；二級炮消耗兩元,捕獲魚的概率為0.2；三級炮消耗三元,捕獲魚的概率為0.3；四級炮消耗四元,捕獲魚的概率為0.4；五級炮消耗五元,捕獲魚的概率為0.5.
1.現在要捕一條魚：
（1） 假設共有10元,那么不同組合所取得的捕獲概率是否相同?若相同請給出證明；若不同則求出最佳搭配.
（2） 若這條魚的價值為10元,即捕獲后可獲得10元,那么怎樣取得最大收益?（現有資金不限）
（3） 如果（1）問計算得到不同組合間概率不同,那么若改變各等級炮捕獲魚的概率是否可能令各組合所取得的概率相同?若可行請給出證明,若不可行請闡明原因.（如（1）問計算所得不同組合捕獲概率相同,此問可不作答.）
（4） 設共有n元,請寫出可取得最大捕獲概率的捕魚方式并給出證明與最大概率.
（5） 若這條魚價值n元,且資金無上限,那么如何取得最大收益?
- 優質解答
- （1）不同組合的概率不同.
先考慮一級炮.未捕獲的概率為0.9.2元一級炮未捕獲概率為0.9*0.9=0.81,大于2元的二級跑未捕獲概率0.8.則花2元用兩次一級炮不如花2元用一次二級炮.花3元一級炮二級炮各一次未捕獲概率為0.9*0.8=0.72大于3元的三級炮未捕獲概率0.7.則花3元的最佳選擇為用一次三級炮.花4元一級炮三級炮各一次未捕獲概率為0.9*0.7=0.63大于3元的四級炮未捕獲概率0.6.則花4元的最佳選擇為用一次四級炮.花5元一級炮四級炮各一次未捕獲概率為0.9*0.6=0.54大于5元的五級炮未捕獲概率0.5.則花5元的最佳選擇為用一次五級炮.如此,可以選擇二、三、四、五級炮時一定不選擇一級炮.
在不考慮一級炮的情況下再考慮二級炮,類似上面可以得到結論：可以選擇三、四、五級炮時一定不選擇二級炮.
同理,可以選擇四、五級炮時一定不選擇三級炮；可以選擇五級炮時一定不選擇四級炮.
則有10元應選擇兩次五級炮,如此捕獲概率為1-0.5*0.5=0.75
（2）在這條魚價值為10元的情況下,
投資一級炮的期望收益為0.9*（-1）+0.1*（10-1）=0
投資二級炮的期望收益為0.8*（-2）+0.2*（10-2）=0
投資三級炮的期望收益為0.7*（-3）+0.3*（10-3）=0
投資四級炮的期望收益為0.6*（-4）+0.4*（10-4）=0
投資五級炮的期望收益為0.5*（-5）+0.5*（10-5）=0
所以無論如何選擇,期望收益都為0.且不論如何組合,期望收益不會改變.但是不同組合的方差不一樣.可以計算得到在投資相同的前提下,選擇捕獲概率較小的炮次數越多,方差越大.所以,投資的風險越大,但可能的實際收益也越大.每個人可以根據自己的實際情況進行抉擇.
（3）設一二三四五級炮的未捕獲概率分別為p1,p2,p3,p4,p5,若要各組合所取得的概率相同,則需要滿足：
p1^2=p2, p1^3=p3, p1^4=p4, p1^5=p5
例如,一級炮的未捕獲概率為0.9,則二三四五級炮的未捕獲概率須分別改變為0.81, 0.729, 0.6561, 0.59049,如此則可.
證明：設使用一二三四五級炮的次數分別為n1,n2,n3,n4,n5
設投資資金為N=n1+2*n2+3*n3+4*n4+5*n5（n1,n2,n3,n4,n5為自然數）
則未捕獲概率為P=p1^n1*p2^n2*p3^n3*p4^n4*p5^n5
=p1^n1*p1^(2*n2)*p1^(3*n3)*p1^(4*n4)*p1^(5*n5)
=p1^(n1+2*n2+3*n3+4*n4+5*n5)=p1^N
則未捕獲概率只與投資總量有關,與各等級炮的組合無關.投資資金一定時,各組合概率相同
（4）
由（1）可知,當1
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