一、完備事件組
設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，Ω是相應(yīng)的樣本空間，A1，A2，...，An為Ω的一個(gè)事件組，
若兩兩事件互斥且所有事件的并集為全集，則稱A1A2...An為樣本空間的一個(gè)完備事件組。
二、條件概率
設(shè)A,B是兩個(gè)事件，且P(B)>0,則在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率：
P(A|B)=P(AB)/P(B)
特例：事件A和事件B互斥，則條件概率為0.
三、全概率公式
全概率公式以加法公式和乘法公式為基礎(chǔ)。
全概率公式：通過(guò)已知每種"原因"發(fā)生的概率，求"結(jié)果"發(fā)生的概率，"原因"發(fā)生的概率稱為"先驗(yàn)概率"，即"已知原因，分析結(jié)果"。
P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + … + P(A|Bn)P(Bn)
間接求概率P(A)。
四、貝葉斯公式
貝葉斯公式以條件概率公式和全概率公式為基礎(chǔ)。
從已知"結(jié)果"發(fā)生的條件下分析各個(gè)"原因"引起的條件概率，這個(gè)條件概率稱為"后驗(yàn)概率"，即"已知結(jié)果，分析原因"。
P(Bi|A) = P(A|Bi)P(Bi) / P(A)
五、舉例理解
我該怎么來(lái)理解這2個(gè)公式呢？打個(gè)比方，假設(shè)學(xué)校的獎(jiǎng)學(xué)金都采取申請(qǐng)制度，只有滿足一定的條件你才能拿到這比獎(jiǎng)學(xué)金。那么有哪些原因能夠使你有可能拿到獎(jiǎng)學(xué)金呢？1、三好學(xué)生，拿到獎(jiǎng)學(xué)金的概率是p(A1)=0.3。 2、四好學(xué)生，拿到獎(jiǎng)學(xué)金的概率是p(A2)=0.4。3、五好學(xué)生，拿到獎(jiǎng)學(xué)金的概率是p(A3)=0.5。4、六好學(xué)生，拿到獎(jiǎng)學(xué)金的概率是p(A4)=0.6。這些學(xué)生只能是三好四好五好六好學(xué)生種的一種，不能跨種類。這個(gè)學(xué)校學(xué)生是三好學(xué)生的概率是p(B1)=0.4，四好學(xué)生的概率是p(B2)=0.3，五好學(xué)生的概率是p(B3)=0.2，六好學(xué)生的概率是p(B4)=0.1。現(xiàn)在問(wèn)題出來(lái)了，一個(gè)學(xué)生能夠拿到獎(jiǎng)學(xué)金的概率是多少？
慢慢來(lái)分析，導(dǎo)致一個(gè)學(xué)生拿到獎(jiǎng)學(xué)金的方式有哪些？這個(gè)學(xué)生是三好學(xué)生，剛好他又憑借三好學(xué)生的身份申請(qǐng)到了獎(jiǎng)學(xué)金p1=p(A1)*p(B1|A1)=0.4*0.3=0.12；這個(gè)學(xué)生是四好學(xué)生，剛好憑借他四好學(xué)生的身份拿到了獎(jiǎng)學(xué)金，p2=p(A2)*p(B2|A2)=0.3*0.4=0.12；這個(gè)學(xué)生是五好學(xué)生，剛好憑借他五好學(xué)生的身份拿到獎(jiǎng)學(xué)金，p3=p(A3)*p(B3|A3)=0.2*0.5=0.10；這個(gè)學(xué)生是六好學(xué)生，剛好憑借他六好學(xué)生的身份拿到了獎(jiǎng)學(xué)金，p4=p(A4)*p(B4|A4)=0.1*0.6=0.06。四種方式都能導(dǎo)致一個(gè)學(xué)生拿到獎(jiǎng)學(xué)金，那么拿到獎(jiǎng)學(xué)金的概率為p=p1+p2+p3+p4=0.4.所以這么理解全概率公式：導(dǎo)致一個(gè)事件發(fā)生的原因有很多種（各種原因互斥），那么這個(gè)事件發(fā)生的概率就是每種原因引起該事件發(fā)生的概率的總和。
一個(gè)學(xué)生已經(jīng)拿到了獎(jiǎng)學(xué)金，這個(gè)學(xué)生是三好學(xué)生的概率是多少？p=p1/(p1+p2+p3+p4)=0.3。怎么理解呢？一個(gè)事件已經(jīng)發(fā)生了，有很多原因都能導(dǎo)致這個(gè)事件發(fā)生。那么其中的一種原因?qū)е略撌录l(fā)生的概率是多少？這就是貝葉斯概率公式解決的問(wèn)題。就正如一本書(shū)現(xiàn)在已經(jīng)被別人借走了（事件已經(jīng)發(fā)生），已知只有可能是張三，李四，王五這3個(gè)人借走（事件發(fā)生的所有原因）。那么這本書(shū)被張三借走的概率會(huì)是多大呢？
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